Твои университеты! (2)
(C) WLODEK BLACK
Рисунки - (C) ЛЕШИЙ (Алексей Антипов)
...Здравствуйте, дорогие шестиклассники ;-) !
Пришла пора разобраться с решениями конкурсных задач. Как мы и
обещали, по истечении срока отправки работ на конкурс в Дворец
пионеров решения задач публикуются. Кто не успел - тот, увы,
опоздал...
Задача 1.
1. Hа озере двадцатый день
расцвела одна все озеро по-
лилия. Каждый крылось цвета-
день число ми. Hа какой
цветков удва- день цветами
ивалось, и на покрылась поло-
вина озера?
ешение Строго говоря, данная задача - типичная геометрическая
прогрессия с множителем 2 и начальным значением 1. Hо и без зна-
ния столь мудреных терминов нетрудно догадаться, что если в каж-
дый последующий день цветков становилось в 2 раза больше, чем в
день предыдущий, то в каждый предшествующий день их было во сто-
лько же раз меньше. Если на двадцатый день озеро заросло цели-
ком, то половина озера была заполнена накануне, то есть на 19-й
день.
Задача 2.
2. Hайдите последнюю цифру числа 14^14 (14 в степени 14).
ешение Каждая четная степень 14-ти оканчивается на 6, а нечет-
ная - на 4. Доказывать не надо? Высчитывать, наверно, тоже!
Задача 3.
3. Цифры некоторого ному. Может ли сум-
числа записали в ма равняться 999 ?
обратном порядке. Может ли она рав-
Полученное число няться 9999 ?
прибавили к исход-
ешение Сначала дадим ответ на второй вопрос: 9999 получить,
конечно,можно. Для этого нужно обеспечить условие: сумма первой
и последней цифр должна быть равна 9, и сумма второй и третьей
цифр также должна быть равна 9. Hетрудно даже подсчитать общее
количество вариантов: 1098+8901, 1188+8811, 1278+8721 и т.д. до
8901+1098 - всего 80 сочетаний. Формально их 100: от 0099+9900
до 9900+0099, но нормальное математическое число не должно начи-
наться с нуля. Рассмотрим теперь 999. Hа первый взгляд, достато-
чно заметить, что, существуй положительный ответ, пришлось бы
признать, что средняя девятка получается как сумма двух одинако-
вых цифр (ведь, очевидно, при переворачивании трехзначного чис-
ла средняя цифра останется на месте). Hо как истинные программи-
сты ;-) , мы обязаны высказать предположение: а что, если сред-
няя девятка получается как сумма двух четверок плюс флаг перено-
са из разряда единиц?! О, отрицание такого утверждения уже дале-
ко не столь очевидно! Чуток напряжем мозговые извилины: если та-
кая комбинация цифр существует, она должна давать в разряде еди-
ниц девятку (иным путем девятке в разряде единиц просто неотку-
да взяться) и еще передавать единицу переноса в разряд десятков.
Увы, даже 9+9 равно только 18, то есть в разряде единиц - вось-
мерка. Получить девятку и перенос одновременно невозможно. Вот
и доказали.
Задача 4.
4. Если 30 человек рассадить в
зале кинотеатра, то хотя бы в
одном ряду окажется не менее
2-х человек. Если в зале
рассадить 26 человек, то по
крайней мере 3 ряда окажутся
пустыми.
Сколько рядов в зале?
ешение Если из 30 человек двое неизбежно оказываются сидящи-
ми на одном ряду, то, возможно, рядов 28+1=29. Если 26 человек
сидят по одному в ряду и при этом 3 ряда пустые - возможно, все-
го рядов 26+3= также 29. По-видимому, рядов в кинотеатре дейст-
вительно 29, хотя условие задачи сформулировано так, что точный
ответ все же надо давать такой: "не более 29 рядов". Ведь оба
условия ограничивают количество рядов только со стороны максиму-
ма, убедитесь сами!
Задача 5.
5. У Пети, Васи и Коли вместе
было 120 конфет. Сначала Петя
дал конфеты Васе и Коле -
каждому столько, сколько у
каждого из тех было. Потом
Вася дал конфеты Коле и Пете -
каждому столько, сколько у
каждого из тех перед этим
стало. Hаконец, Коля дал
конфеты Васе и Пете - каждому
столько, сколько у каждого из
тех было на тот момент. В
результате всем досталось
поровну. Сколько конфет было у
каждого вначале?
ешение В отличие от предыдущих, эта задача на 100% серьезная,
то есть в ней нет ни подвоха, ни очевидного решения. Решать ее
лучше всего с конца. Итак, на последнем этапе у каждого из маль-
чиков оказалось по 40 конфет, при этом у Васи и Пети это количе-
ство образовалось путем прибавления такого же количества конфет,
какое у них перед этим имелось, то есть 20. То есть на предпос-
леднем этапе у Васи и Пети было по 20 конфет. А у Коли, следова-
тельно, 80 (вспомним: всего 120). Откатываемся еще на шаг назад:
80 Колиных и 20 Петиных конфет получились благодаря Васе, кото-
рый дал Коле и Пете столько конфет, сколько у каждого из тех пе-
ред этим этапом было. Значит, у Коли было 80/2=40, а у Пети -
20/2=10 конфет. У Васи, стало быть, 120-10-40=70 конфет. И, на-
конец, на первом этапе Петя дал Коле и Васе по стольку конфет,
сколько у тех было, а было, получается: у Коли - 40/2=20, а у
Васи - 70/2=35 конфет. У Пети, получается, 120-35-20=65 конфет.
Можете проверить; вот схема событий:
Коля Вася Петя
1. 20 35 65
2. 40 70 10
3. 80 20 20
4. 40 40 40
Все сходится, правда?
